Cuentas y cuentos. Matemáticas

Gaussianos, ¿qué si no?

2012-01-27T14:08:00.000-08:00

Esta semana asistí a una charla de divulgación matemática impartida por el autor del blog Gaussianos.
Al que le gusten las mates, la ciencia y la divulgación le aconsejo que lo visite. Muchas de las entradas tal vez no las entienda si hablan de cosas sofisticadas pero, muchísimas otras, seguro que sí.

Pero a lo que vamos. Una de las entradas de Gaussianos que nos contó en la charla es esa en la que Homer Simpson demuestra que el último teorema de Fermat es falso:

http://gaussianos.com/el-ultimo-teorema-de-fermat-y-los-simpsons/

No soy nada original con esto. Miles de páginas de Internet reflejan esta anécdota de los Simpson y recuerdan que sus guionistas, al menos algunos de ellos, son gente versada en ciencias, matemáticas y física.

¡Que si, que lo sé, no soy nada original!
Hace no mucho tiempo el padre de un alumno me lo dijo con toda la educación pero con toda la rotundidad del mundo. La esencia de su argumentación aunque no la literalidad de las frases, que no recuerdo totalmente, era más o menos ésta:

"Es usted un profesor sin ideas que se limita a entregarnos una fotocopia de un artículo cualquiera sin comentario ni explicación ninguna. Palabras de otros para expresar ideas de otros"

Para alguien como yo, que se cree Dios y el más listo del mundo, hasta ahí llega mi locura, esto es muy duro. Sin embargo le dije también con educación pero con rotundidad que, otra cosa podría decirme, pero que precisamente, una persona sin ideas no soy. Se lo prometo. Os lo prometo a todos. Puedo tener ideas absurdas, ridículas, equivocadas o disparatadas, pero no estoy falto de ellas (preguntad a quien me conozca).
No sé si os dais cuenta de la similitud entre Homer Simpson y yo. Ambos parecemos tontos, estúpidos y sin ideas pero, analiza los capítulos y verás que, millones de ideas de sus guionistas, gente de muchas ideas y muy inteligentes, están en Homer y en los personajes de su alrededor. Sus ideas son disparatadas, absurdas, es un hombre sin principios, ridículo, ... pero analízalo con calma y tal vez aprendas mucho de sus ideas.

Fijaos si tengo ideas que, sólo unos días antes de estas dos anécdotas que os he reseñado, charla y entrevista con el padre, les había contado a mis alumnos de bachillerato la anécdota de Homer y el último Teorema de Fermat al hilo de un ejercicio del examen que acababa de poner:

i^{13^{13}}

Pero, la idea original, la mía, (no significa aquí original la literalidad de la etimología de la palabra; no significa aquí origen; significa algo más modesto pero para mi de tanto valor; aunque millones de personas lo hubiesen pensado antes que yo, yo nunca lo había oido ni visto y se me ocurrió a mí solito; seguro que no al primero, ni al único, pero si ... a mi también) fue la siguiente que es digna de un episodio de Los Simpson:

Te has dado cuenta ¡oh alumno! , ¡oh adulto!, que todo número, lo suficientemente grande es par.

Coge tu calculadora y haz una operación con números grandes para obtener un resultado muy grande.

Si es una calculadora de mano te sugiero algo como esto: "tantos nueves como te quepan multiplicado por tantos nueves como te quepan", por ejemplo (9999999999 x 9999999999 = ????)

Asómbrate:

impar x impar = par

cuando los números son lo suficientemente grandes.

¿Libros infantiles? ¡Ja, ja, ja! Ni por semejanza, ni por Trigonometría

2012-01-09T12:44:00.000-08:00

Algunos libros pueden parecer infantiles pero:

¡De los animales grandes y pequeños!

Nadie "mayor" se acercaría a este libro mas que para regalárselo a un niño ... Pero mejor que el niño no leyese este párrafo y se acercase al "mayor" para pedirle que le explique lo que esto significa:

"[...] También investigué sobre la influencia de la escala en la resistencia de materiales y estructuras. Por ejemplo, comprobé que los huesos de un animal grande deben ser proporcionalmente mucho más grandes que los huelos semejantes de un animal pequeño. Y descubrí que eso sucede porque el peso crece más deprisa que la resistencia de los huesos: un animal dos veces mayor que otro tiene cada hueso dos veces mayor y cuatro veces más resistente, pero el animal será ocho veces más pesado, de ahí la necesidad de tener los huesos proporcionalmente más grandes.
Evidentemente, apliqué este descubrimiento a los cálculos de estructuras metálicas, máquinas y edificios."

Me llamo GALILEO GALILEI.

Guillerme de Almeida (Texto)
Jorge Miguel (Ilustraciones)

Ed. Parramón

Claro, si fuésemos "mayores", tal vez quedaría mejor decir que leemos a Asimov, aunque nos costase entender algo aún más

"Pero nada de eso sería posible, ni por un instante, en virtud de la llamada ley cuadrado-cúbica, expuesta por primera vez por Galileo hace tres centurias y media.
Para explicar del modo más sencillo lo que significa esa ley, partiremos de un cubo de n pulgadas de arista.
El volumen de ese cubo es $n \cdot n \cdot n$ o sea $n^{3}$ . Eso quiere decir que un cubo de 1 pulgada de arista tiene un volumen de una pulgada cúbica; uno de 2 pulgadas de arista tiene 8 pulgadas cúbicas de volumen, y uno de 3 pulgadas de arista, 27 pulgadas cúbicas de volumen.
[…]
El volumen crece mucho más de prisa que la superficie[…]
Podemos, pues, enunciar la ley cuadrado-cúbica como sigue. Al crecer un cuerpo tridimensional cualquiera, sin cambiar de forma, su superficie crecerá como el cuadrado de cualquiera de sus líneas, y el volumen como el cubo de la misma. Esto tiene importante relación con la ingeniería estructural de los cuerpos animados e inanimados; pues algunas de sus propiedades dependen del volumen y otras de la superficie. Como las que dependen del volumen crecen más de prisa con el tamaño que las que dependen de la superficie, hay muchas ocasiones en que el tamaño establece diferencias considerables.
[…]
Esto vale para todo el mecanismo sustentador [de un animal]. Cada pulgada cuadrada de sección del fémur tiene que soportar doce veces más peso que de ordinario; cada pulgada cuadrada de sección de músculo tiene que ejercer un tirón doce veces mayor que de ordinario, para que el gigante se ponga en pie, si está sentado.
[…]
Así, pues, los colosos del «Mundo de los gigantes», ¿caerían por tierra y morirían aplastados por su propio peso?"

El electrón es zurdo y otros ensayos científicos

Isaac Asimov

Ed. Maeva

¡Eso de medir las cosas altas siempre ha sido un problema!

Éste que os menciono aquí, y que podéis ver también referenciado en el Blog de primer ciclo de la ESO, es interesante hasta para adultos aficionados a aprender la utilidad de las matemáticas...

"[...]
- Abuelo, las montañas más altas de los Alpes y los Apeninos las conozco bien, porque he subido a ambas. Son el Mont Blanc, que mide 4800 metros, y el Corno Grande, que mide 2900 . Está también el Etna, que tiene una altura de 3300 metros, pero que no es del continente...¿Cómo se hace para medir la altura de una montaña? Debe de haber un método muy ingenioso para no tener que perforarla de arriba a abajo...
-¡Cierto! ¡Eso de medir las cosas altas siempre ha sido un problema! Quien conseguía resolverlo conquistaba fama de gran sabiduría. Es especialmente famosa la manera con la que, seis siglos antes de Cristo, el sabio Tales de Mileto, a petición del faraón, midió la altura de la pirámide Keops. Todos esperaban que Tales llevara consigo quién sabe qué complicados artilugios; en cambio, se presentó con un simple bastón. Era un hermoso día de sol, como suelen serlo en Egipto. Tales apoyó el bastón perpendicularmente al suelo y esperó a que la sombra del bastón fuera tan larga como el bastón mismo. <<Medid la sombra de la pirámide>>, dijo a los enviados del faraón.<<En este momento mide lo mismo que la altura de la pirámide.>> Midieron la sombra de la pirámide, añadieron a esa medida la mitad del lado de la base (que comía parte de la sombra) y así supieron por fin la altura del majestuoso monumento.
- ¡Genial! Pero entonces... nosotros también podemos medir las cosas altas, los edificios y las torres sin tener que subirnos encima de ellos.
- Naturalmente, y ni siquiera hace falta esperar a que la sombra del bastón sea tan larga como el bastón. Si es sólo la mitad, también la sombra del objeto que queremos medir será la mitad del objeto; si es un tercio, será igual para la sombra del objeto. La espléndida idea de Tales se basa en una teoría muy importante, que los geómetras griegos conocían bien: la teoría de la semejanza.
[...]
-¡Abuelo, me gusta ese Tales! Pero la altura de las montañas no puede obtenerse con su método. ¡La sombra de una montaña no se puede medir!
- Tienes toda la razón. Para resolver ese problema, además de los triángulos semejantes, es necesario saber algo de trigonometría, esa parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo""

Los Diez Magníficos. Un niño en el mundo de las matemáticas

Anna Ceralosi

Ed. Maeva

¿De qué es este examen?, me preguntaron

2011-12-02T00:13:00.001-08:00

Cada día estoy más convencido ... la inmensa mayoría de las personas nunca entendió las matemáticas. Los polinomios, las ecuaciones, la geometría analítica de la escuela eran montones de fórmulas sin sentido que nunca relacionaron con nada y, aún más triste, nunca se dieron cuenta que eran lo mismo en distintos temas, que nada había que aprender nuevo.
Por supuesto que no hay pedagogo que se precie que las haya entendido nunca pero, eso no es óbice para que opine que cualquiera puede estudiarse el libro y enseñar matemáticas. Podemos ir en una dirección peor de la que hay que ir, pero es difícil.

Un examen de 4º de ESO de no sé muy bien que "cosas"

Exámenes, ¿para demostrar qué?

2011-11-15T02:44:00.001-08:00

Llevaba avisando a mis alumnos de 4º de la ESO que el examen no iba a ser un examen estándar. Que hay que pensar. Que Ruffini no es el fin sino un medio y, en muchas ocasiones hasta innecesario. Que lo importante es entender lo que estudian y para qué lo estudian ...

¿De qué me sirve hacer ejercicios de radicales y exámenes de radicales si no se usar los radicales en ningún contexto fuera del propio examen?
¿De qué me sirve hacer ejercicios de aproximación y redondeo y exámenes si no sé interpretar un texto que hable del asunto y utilizar mis conocimientos para entender y aprender sobre algo que leo?

Aquí os dejo el segundo examen que hemos hecho en 4º de la ESO este curso 2011-2012. Posiblemente, una vez más, un desastre.
El otro día me decía un compañero que mis exámenes eran más fáciles que los suyos y, también me decía que le daban envidia. Que cada uno lo interprete como quiera. Yo sé que mis exámenes son más fáciles que los suyos y que buscan que el alumno demuestre que ha entendido y que lo que ha aprendido es capaz de usarlo fuera de la pura repetición. ¡La verdad es que los alumnos piensan que mis exámenes son mucho más difíciles!
En este examen que tenéis aquí, unos cuantos de los alumnos de 4º de la ESO no han entendido el texto de la segunda pregunta ... pero no os preocupéis, hacen Ruffini como autómatas programables, siempre que la raíz del polinomio en cuestión sea un número entero, claro.

Examen de 4º de ESO 2011-2012

Trigonometría y triangulación

2011-11-08T03:03:00.000-08:00

Algunas veces, cuando a los profesores de matemáticas nos obligan a buscar una utilidad a las matemáticas que enseñamos en la escuela más allá de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), recurrimos a la Trigonometría.

Es seguro que, ninguno de nosotros ha utilizado nunca la Trigonometría. Sólo algunos pocos "zumbados" nos gusta observar los vértices geodésicos cuando vamos por el monte y por eso hablamos de ellos a nuestros alumnos a pesar de que hoy están "out" (pasados de moda). Quizá en algún caso se nos ocurra relacionar GPS con Triangulación y ahora (en pleno 2011 cuando escribo esta entrada) y por varios años, el sistema europeo Galileo ...
Mucho más difícil es que los conceptos de exactitud y precisión sean usados, de verdad, en un problema de Trigonometría de la escuela.

Pero si alguien quiere aprender mucho sobre todo ello, leer sobre historia de la Revolución francesa y sobre muchas cosas más que han determinado de manera inestimable el desarrollo global del comercio y la ciencia en el mundo, os recomiendo : El metro del mundo -Denis Guedj- .
En él podéis leer perlas como estás:

"- 'Me dicen, señor Cassini, que vais a volver a medir el meridiano que vuestro padre y vuestros antepasados midieron antes que vos, ¿creéis poder hacerlo mejor que ellos.'
Desconcertado durante un instante por el reproche real, Cassini responde: 'Señor, no me preciaría en absoluto de hacerlo mejor si no tuviese una gran ventaja sobre ellos. Los instrumentos que usaron mi padre y mi abuelo medían los ángulos con una precisión de sólo quince segundos. El señor caballero de Borda, aquí presente', y señaló a Borda, de pie en medio de sus colegas, 'ha inventado uno que que me dará esa medida de los ángulos con precisión de un segundo; y ése será todo mi mérito.' "

" Si se pretende determinar la distancia entre dos puntos en el globo terráqueo bastante alejados entre sí, el método que emplea la agrimensura, poner uno tras otro el patrón de medida, es inaplicable. Amoldándose al relieve, la línea que une esos dos puntos tiene, con toda evidencia, mayor longitud que el arco buscado. ¿Cuánta? Imposible de calcular con precisión. Sin contar con el hecho de que los accidentes del terreno, vías de agua, precipicios, montañas, etc., impiden a menudo extender de forma continua la línea con que se mide.
Es preciso inventar un método que no dependa de la configuración del terreno, un método que proporcione independencia a la medida respecto de las variaciones del terreno. Este método es la triangulación. Inventado por el holandés Willebrord Snellius a comienzos del siglo XVII, revolucionará la medida de los meridianos. En vez de medir lo lineal con lo lineal como se había hecho hasta entonces, medirá, de un modo infinitamente más simple, lo lineal con lo angular.'

2011-11-07T09:28:00.000-08:00

Aquí os dejo el primer examen que hemos hecho en 1º de Bachillerato.

aunque, si te parece difícil, haz primero un examen de 2º de la ESO. ¿Qué sentido tienen las cosas si realmente no las entiendes si sabes por qué o para qué?

Primer examen de 1º de Bachillerato de Ciencias 2011-2012

¿Para qué sirven las matemáticas?. Un ejemplo

2011-10-25T14:20:00.000-07:00

Imagina, contaba esta semana a mis alumnos el siguiente dilema:

Si alguien tiene una cierta cantidad de algo que le gusta y le ofrecen duplicar lo que posee o aumentarlo en una unidad, ¿qué debe elegir?.

- Depende, fue la respuesta más extendida.

- Si, depende, pero depende de qué, depende cómo, depende cuándo ...

[...]
El problema principal de Lawrence era su vagancia. Había llegadoa la conclusión de que todo era más simple si, como en el caso de la visiónde rayos X de Superman, se limitaba a mirar más allá de las distraccionescosméticas y apreciaba el esqueleto matemático subyacente.Una vez que habías conseguido descubrir la matemática de unasituación, ya lo sabías todo y la podías manejar para alegría de tu corazónsimplemente con un lápiz y una servilleta.

Criptomicon. El código Enigma - Neal Stephenson -

Nuestro problema queda tan trivial encontrando las matemáticas que tiene detrás ...:

- Sea x la cantidad que tengo de algo que me gusta.

Sólo necesito saber cuándo:
2 x > x + 1
( Lo cuál queda reducido a solucionar inecuación trivial)
x > 1
Y cuándo:
2 x < x + 1
( Lo cuál queda reducido a solucionar inecuación trivial)
x < 1
Y cuándo:
2 x = x + 1
( Lo cuál queda reducido a solucionar ecuación trivial)
x = 1

- Así que:

Si tengo más de una unidad de lo que me gusta, será preferible el doble.
Si tengo menos de una unidad de lo que me gusta, incluyo aquí la posibilidad de tener nada ( 0 ) ó incluso tener deudas de lo que me gusta (-3), será mejor que me den una unidad.
Si tengo exactamente una unidad de lo que me gusta, será indiferente porque el doble coincidirá con una unidad más.

Mi homenaje a una futura Hipatia

2011-10-22T11:07:00.000-07:00

Una vez, no hace mucho tiempo ...

tuve una alumna llamada Elena. Desgraciadamente pasaré a la historia por ser su último profesor de matemáticas. Como dirían mis detractores, después de que yo le diera clase en 1º de Bachillerato, dejó las matemáticas en 2º.
Pero era, y es, una buena alumna. Alquien a quien no dudaría en asignar un alto grado de paideia.
Me he acordado tanto de ella, he sentido muchas veces pena egoista de que personas así tuviesen claro que las Matemáticas no son lo que necesitan para el fin que buscan, pero también me he alegrado de poder disfrutar mientras fueron mis alumnas.
Alguien que es capaz de escribir un hermoso relato y también lo es de entender y reflejar con naturalidad que:

\begin{array}{l} S i f (x) = \sqrt{x} \\ S i g (x) = x^{2} \end{array}} \Rightarrow {\begin{matrix} f \circ g (x) = | x | \\ g \circ f (x) = x x \geq 0 \end{matrix}

Ergo ... la ráiz y el cuadrado no se van

Ayer la encontré por el pasillo y, además de la alegría de saludarla me asaltó la felicidad tan conocida de su interés por aprender. Me dijo que una amiga le había enseñado ese famoso vídeo que se ha popularizado en internet de la multiplicación de números haciendo rayas y que sentía la curiosidad del ¿por qué? :

- Un día pasaré por el departamento para que me lo expliques.
- Encantado de hacerlo, por supuesto.

Así que, a todos os insto a observar que, esta forma de multiplicar se basa en el mismo principio en que se basa nuestro algoritmo de la multiplicación.
- "Todas las cifras del 321 se van multiplicando ordenadamente por todas las cifras del 123 y, después, ordenadamente, se suman los resultados"
- Pero, ¿no es acaso cierto que, si

3 \cdot 2 = 6

, cuando dibujes 3 líneas que se cruzan con otras 2, quedarán exactamente 6 puntos de intersección o corte?

Las mil y un Hipatias

2011-10-22T10:35:00.000-07:00

Estoy leyendo ahora "Las mil y una Hipatias" y, siendo un libro de la Colección "La Matemática y sus Personajes", de la editorial Nivola, me he encontrado con la agradable pero extraña sensación de no estar leyendo un libro relacionado con las matemáticas.

Dejemos a un lado mi opinión políticamente incorrecta de que la "discriminación positiva hoy" no es un ejemplo de igualdad entre hombres y mujeres. Admito que esto pueda parecer a algunos/as un síntoma claro de machismo o incluso de misoginia. Pero hasta en esto me he visto gratamente sorprendido por la delicadeza del trato. El libro podría perfectamente haberse titulado "Las mil y una Hipatias, las mil y una maestras, los mil y un maestros". Tiene empero el valor añadido de destacar que, las mil y una maestras, tienen además un mérito añadido tan inmenso, tan difícil de evaluar que lo hace infinitamente más elogiable, porque el contacto de la mujer con la ciencia y la cultura ha sido un camino casi imposible en una historia fijada por los designios de los machos.

Pero destaco, como las autoras destacan, los conceptos que son centrales en el discurso de la obra, los conceptos que se aplican a la figura de Hipatia y que yo hago extensibles a los verdaderos maestros de todos los tiempos (siento que, en este caso, el propio lenguaje pueda inducir a pensar sólo en hombres, cuando no es esa mi intención). A esos mil y un maestros que cada día se levantan por la mañana y se dirigen a sus aulas. A esos mil y un maestros que, no son todos, pero que son muchos. A aquellos que, de verdad, rezuman "Areté y Padeia". A aquellos que, como el propio libro indica, pueden responder a ...

"Miré a Rolf: por fin aparecía Hipatia II. Entendí que ella había sido la maestra de Deianira, quizá todas las veces que la había mencionado se refería a 'la otra' Hipatia, pero por la descripción que hizo yo no hubiera podido diferenciarlas. Era la que enseñaba el amor por el saber, el placer por el conocimiento, la independencia del criterio, el respeto por lo desconocido; la que les exigía coherencia lógica, la que se basaba en datos empíricos, la que les estaba labrando una conciencia política de ciudadanos, independiente de su status social, la que se enfrentaba al poder y el dogmatismo en defensa de la razón; la que no distinguía entre hombres y mujeres; [...] Una Hipatia resucitada o reencarnada, qué más da. O muchas Hipatias, un ejército de Hipatias luchando con sus enseñanzas contra la alienación que crece larvada en el seno de la mediocridad ..." (1)

Y tan sólo un poco después, ...

"- Por supuesto: el buen maestro enseña sobretodo a pensar. ¿No conoces la frase famosa de Hipatia I?
- No
- 'Pensar, aunque sea erróneamente, es mejor que no pensar'" (2)

Las citas (1) y (2) se las leía el último día a mis alumnos de bachillerato mientras se sentaban en sus pupitres y luchaban por mantenerse en ellos y poner un mínimo de atención en una clase en la que muchos de ellos no querían estar después de haber pasado muchas otras horas de esta semana en otras tantas en las que tampoco querían haber estado. Lo que entendieron o escucharon de ello queda en el entorno de sus mundos privados.

La cita (2) se la leía a mis alumos de 2º de la ESO. Algunos que me conocen desde hace más tiempo y son capaces de pensar tal vez fueran más allá, la mayor parte no distingue entre pensar y mecanizar de manera absurda que para sumar dos fracciones hay que hacer denominador común sin preguntarse nunca ¿por qué?

Un problema creativo, con los datos justos

2011-10-09T14:17:00.000-07:00

El problema que planteo aquí está sacado del Seminario de problemas para alumnos de ESO y Bachillerato, primera Hoja del curso 2011-2012.

Aprovecho la ocasión para recordar todas las actividades que desde el Departamento de Matemáticas de la Universidad de la Rioja se están haciendo bajo el título de Taller de Creatividad Matemática

Antes de ir a su enunciado, vamos a realizar una taxonomía muy especial de los problemas:

Hay problemas a los que les faltan datos: en estos casos, lo más probable es que no llegemos a una solución concreta, casi segur que encontraremos más de una solución posible. Uno de los más bellos que conozco reza así:

Dos matemáticos se encuentran después de mucho tiempo sin verse: - ¿Cuánto tiempo sin vernos?¿Cómo te ha ido la vida?¿Te casaste, tienes hijos, ...?
- Sí, me casé y tengo tres preciosas hijas.
- ¿Qué me dices?¿Y cuántos años tienen?
- El producto de sus edades es 36 y, la suma de las mismas es el número de la casa de enfrente.
-¿¿?? ...¿¿??... Pues he de decirte que me falta un dato.
- ¡Cómo se nota que eres matemático! Ciertamente, con los datos que te he dado, como bien has visto, habría más de una alternativa para el problema. Así que, la que más años tiene, toca el piano.
- Ciertamente, ahora tengo los datos necesarios y las edades son ...

Hay problemas a los que les sobran datos: aquí podemos encontrarnos dos modalidades:
- Aquellos en que los datos que sobran son simplemente redundantes y podrían haberlos omitido porque se deducen de los demás.
- Aquellos en los que los datos sobrantes son contradictorios con otros y, por tanto, en modo alguno llegaremos a una solución.
  Entran aquí un tipo de "situaciones" de las más famosas en la historia de las matemáticas las demostraciones por reducción al absurdo. Su principio es, suponer un conjunto de datos de partida para llegar a una contradicción. Si el número de datos de partida está controlado y, "tan sólo uno de esos datos" es el que no está contrastado, concluimos que, precisamente ése es el dato que sobra, el que está mal.
  Tal vez la más famosa "demostración" (el más famoso problema por reducción al absurdo partiendo de un dato erróneo) sea la que Euclides recoge para llegar a la conclusión de que hay infinitos números primos.
Hay problemas que tienen los datos justos: aunque algunas veces, uno o varios de esos datos pasen desapercibidos y sean esenciales para su resolución. Éste es el caso del problema que enunciamos y explicamos más abajo.
En un cuadrado ABCD se traza un punto M tal y como indica la figura. El triángulo AMB tiene toda la pinta de ser equilátero, ¿lo es de verdad?

Precisamente la clave de la resolución de este problema está en que hay un dato que nos dan pero que, muy probablemente no nos planteamos que tenemos que usar. El dato es que se trata de un cuadrado y, aquí os dejo un applet de geogebra para que observéis la importancia de ese dato. Si queréis ver una solución podéis acudir a la página del Seminario de problemas para alumnos de ESO y Bachillerato pero, observad que, el dato del cuadrado se usa de forma implícita y no explícita.

Un problema de potencias de derecha a izquierda

2011-10-09T12:01:00.000-07:00

Todos los estudiantes, o casi todos, de más de 11 años saben que:

10 \cdot 10^{8} = 10^{9}

Pero en matemáticas, sucede muchas veces que, las cosas se ven muy bien de derecha a izquierda pero no se ven en absoluto de izquierda a derecha o viceversa, que "tanto monta".
Este es un ejemplo excelente porque, casi ningún alumno es capaz de observar al primer glope de vista que:

10^{9} = 10 \cdot 10^{8}

Y esto significa, como es obvio, que: $10^{9}$ son 10 veces $10^{8}$

Así que, el problema elemental de potencias que aquí propongo, que lo podéis encontrar en el examen de la entrada anterior ( Decíamos ayer...), y que repito hasta la saciedad cada año para llevarme la misma sorpresa, podría ser, con ligeras variantes, este:

Una estrella se encuentra de la Tierra a:

3,11 \cdot 10^{32} u

. Otra estrella, alineada con ellas se encuentra de la Tierra a una distancia de:

3,11 \cdot 10^{33} u

. Haz un dibujo a escala de la posición de la Tierra y las dos estrellas representando cada una por un punto con los nombres ( T, E1, E2)

Nada más evidente puesto que, la disntacia de la Tierra a la segunda estrella es, exactamente, 10 veces la distancia de la Tierra a la primera

3,11 \cdot 10^{33} = 10 \cdot (3,11 \cdot 10^{32})

Así que, aquí tenemos, una posible solución, en la que, como hemos indicado, la distancia de la Tierra a la Estrella2 es, 10 veces la distancia de la Tierra a la Estrella1:

Decíamos ayer ...

2011-10-06T13:57:00.000-07:00

Dice la historia que, hasta Fray Luis de León fue objeto de la persecución de la Santa Inquisición. El por qué, con toda seguridad, envidias y rencillas que llevaban las más insignificantes cuestiones a magnos ataques contra la ortodoxia más absurda.

Cinco años estuvo encarcelado y, al volver a su cátedra de la Universidad de Salamanca parece que, en su primer clase, empezó ésta como solía ... "Decíamos ayer ..."
Así que, yo también decía ayer, hace ya un año, hablando del número áureo ...

Y como todo retorna, se me ha ocurrido que el número de oro quitándole su mágia, su poesía y su encanto, se convierte en un buen ejemplo para el majo de radicales sencillos.

Así que este es uno de los elementos centrales de este nuevo examen que les he puesto a mis alumnos de 4º de ESO para que, manejen radicales sencillos, sepan lo que realmente son los números grandes o entiendan el error al manejar cantidades ...

Primer examen de 4º de ESO 2011-2012

Una colección de exámenes

2011-06-24T11:38:00.000-07:00

A petición de alguno de mis alumnos pongo aquí los enunciados de los últimos exámenes. Dos de ellos, los dos últimos, no se los llevaron para casa así que, algunos querían tenerlos o que viesen los enunciados sus padres.
Se que hace mucho que deje el blog en "stand by" por circunstancias que no vienen al caso, aunque espero retomarlo en el próximo curso. Por ahora, aquí van los enunciados:

Potencias de un número complejo

2011-01-14T13:15:00.000-08:00

Casi siempre, en casi todos los libros, lo que nos encontramos es el típico dibujo de las raíces de un complejo formando un polígono regular. El que te he colocada en la entrada anterior del blog

Pero Hay cosas incluso mucho más bellas:

POTENCIAS DE UN COMPLEJO

Si no funciona, comprueba que tienes la versión java 1.4(o superior)
)

Raíces de un complejo

2011-01-14T13:12:00.000-08:00

RAÍCES DE UN COMPLEJO

Si no funciona, comprueba que tienes la versión java 1.4(o superior)

Dos exámenes recientes de distintos cursos

2011-01-14T12:43:00.000-08:00

Aquí cuelgo los dos últimos exámenes de 4º de ESO y 1º de Bachillerato.

Cuando digo muchas veces que la mayor parte de las cosas que se hacen en las matemáticas de la Secundaria y Bachillerato son siempre lo mismo, siempre lo mismo, siempre lo mismo, ..., valga el ejemplo de

Multiplicar

Lenguaje algebraico

Propiedad distributiva

Igualdades notables

Racionalización con expresiones conjugadas

Números complejos conjugados

mis alumnos nunca me creen.

Así que, algunas veces pongo las preguntas de un curso en otro y de otro en uno ...

Cuarto examen de 4º de ESO

Cuarto examen de 1º Bachillerato

Exámenes difíciles - Mundo real -

2011-01-14T12:23:00.000-08:00

¡Qué examen tan difícil!

¡Con lo que había estudiado!

¡No voy a saber cómo aprobar esta asignatura!

¡Siempre poniendo problemas raros que no hay quien los entienda!
¡Estoy hundido!

¡Se me quitan las ganas de estudiar!

¿Pero cuando entenderán que no es así?
¿Cuándo entenderán que un problema de la vida real es un problema de la vida real y que la escuela no puede ser una burbuja de mentiras sino la preparación para la vida real?
¿Cuando entenderán que a nuestro médico no hay que pedirle que haya aprobado medicina sino que sepa medicina? ¿O, tal vez, estaría bien que nos dijese ... "tío, cambia de enfermedad por otra más fácil que esa es muy difícil y no se que decirte"?
¡Ah, no, si esto, tal vez lo entiendan!

El entrenador Graham me exigía muchísimo. Recuerdo un entrenamiento en particular. "Lo estás haciendo todo mal, Paush. ¡Retrocede!¡Repítelo otra vez!" Intenté hacer lo que me pedía. No bastó. "¡Me debes una, Paush! Después del entrenamiento te quedarás a hacer flexiones".
Cuando por fin me dieron permiso para marcharme, uno de sus ayudantes se acercó a consolarme.
- El entrenador Graham ha sido muy duro contigo, ¿verdad? Apenas logré musitar un sí.
- Eso es bueno - me aseguró el ayudante-. Cuando la cagas y nadie te dice nada es porque te consideran un caso perdido.
Es una lección que he tenido presente toda la vida. Cuando ves que estás haciendo algo mal y nadie se molesta en decírtelo, tienes un problema. Tal vez no quieras escucharles, pero a menudo tus críticos son los que están diciendo que todavía te quieren, que se preocupan por ti y desean que mejores.
Hoy en día se habla mucho de fomentar la autoestima de los niños. No es algo que pueda dárseles, tienen que construírsela ellos mismos. El entrenador Graham no trabajaba el tema de los mimos. ¿Autoestima? El hombre sabía que sólo hay un modo de enseñarle a los niños a desarrollarla: les das algo que no saben hacer, trabajan duro hasta que aprenden a hacerlo y luego te limitas a repetir el mismo proceso.
Cuando el entrenador Graham se hizo cargo de mí, yo era un niño debilucho sin ninguna habilidad especial, fuerza ni preparación física. Pero me ayudó a comprender que si trabajaba suficientemente, con el tiempo sería capaz de hacer cosas que entonces me parecían imposibles. [...]
Soy consciente de que, en estos tiempos, a un hombre como el entrenador Graham podrían expulsarlo de una liga juvenil. Resultaría demasido duro.
[...]

La última lección. -Randy Paush con Jeffrey Zaslow -

Lo importante es razonar ...

2010-12-29T09:45:00.000-08:00

A pesar de todo, dijo el profesor de Matemáticas, el mundo progresa. En algún lugar habrá gente que piense o, tal vez, gente que llegue a pensar en el futuro.

- Abatanar^(*) es un trabajo demoledor, capaz de romperte la espalda. No me sorprende que nadie quiera hacerlo -comentó Ellen. – […]

A Jack se le ocurrió una idea.

- Es una lastima que no podamos lograr que lo hagan los bueyes._ Todos se echaron a reír.

- Sería como pretender enseñar a un buey a construir una catedral -dijo Tom.

- O con un molino -insistió Jack impertérrito-. Por lo general, hay maneras fáciles de hacer los trabajos más duros.

- Quiere abatanar el lienzo, no molerlo -le replicó Tom.

Jack no le escuchaba.

- Utilizamos mecanismos para levantar pesos, y ruedas giratorias para elevar piedras hasta los andamios más altos…

- Sería maravilloso que hubiese algún mecanismo ingenioso para poder abatanar este lienzo -dijo Aliena.

Jack imaginó lo complacida que se sentiría si él lograra resolver ese problema. Esta decidido a encontrar alguna manera.

[…]

- Una rueda de molino gira y gira y una piedra de molino gira y gira -dijo Tom-, de tal manera que una piedra impulsa a la otra. Pero el bate de un abatanador va de arriba abajo. Nunca lograrás que una rueda de molino de agua haga subir y bajar un bate.

[…]

- Una rueda en pie puede poner en marcha a otra tumbada -musitó Jack pensando en voz alta.

Martha se echó a reír. -¡No te esfuerces, Jack! -le dijo-. Si los molinos pudieran abatanar lienzos, ya se les habría ocurrido a las gentes listas.

Jack no le hizo caso.

[…]

- Tiene que haber una manera -insistió Jack con tozudez.

- No la hay -afirmó Tom perentorio con el tono de voz que adoptaba para cerrar el tema de una conversación.

- Sin embargo apuesto a que la hay -farfulló rebelde Jack.

Tom hizo como que no le había oído.

[…]

Al domingo siguiente, Jack desapareció.

Fue a la iglesia por la mañana, almorzó en casa como de costumbre pero, a la hora de cenar, no se presentó.

[…]

Sin decir palabra de lo que pensaba, Aliena salió del cobertizo de Tom y, atravesando presurosa el recinto del priorato, dejó atrás la cocina y se encaminó hacia el extremo suroeste donde un canal, desviado del río, ponía en movimiento los dos molinos, el viejo y el recién construido.

Tal y como sospechaba, la rueda de molino viejo estaba girando.

Entró.

[…]

Los martillos estaban abatanando el tejido. ¿Cómo lo había hecho?

- Creo que he resuelto tu problema -le dijo Jack sonriendo con timidez.

Los Pilares de la Tierra

Ken Follet

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^(*)Abatanar: Batir o golpear el paño en el batán para desengrasarlo y encurtirlo

-¿Qué nos han enseñado esta semana los filósofos? -le preguntó Raschid a Jack tan pronto como empezaron a comer.

- He estado leyendo a Euclides.

[...]

- Euclides es un extraño nombre para un árabe -apunto Ismail, hermano de Raschid.

- Era griego -le explicó Jack-. Vivió antes del nacimiento de Cristo. Los romanos perdieron su trabajo; pero los egipcios lo conservaron, de manera que ha llegado hasta nosotros en árabe. -¡Y ahora los ingleses lo están traduciendo al latín! -exclamó Raschid-. Resulta divertido. -¿Pero qué has aprendido? -le preguntó Josef, el prometido de Raya.

Jack vaciló un instante. Resultaba difícil de explicar. Intentó exponerlo de una manera práctica.

- Mi padrastro, el constructor, me enseñó cómo realizar ciertas operaciones geométricas.

Cómo dividir una línea en dos partes iguales, cómo trazar un ángulo recto y cómo dibujar un cuadrado dentro de otro, de manera que el más pequeño sea la mitad del área del grande.

-¿Cuál es el objetivo de tales habilidades? -le interrumpió Josef.

[...]

- Esas operaciones son esenciales para proyectar construcciones -contestó Jack en tono amable, simulando no haberse dado cuenta del tono de Josef-. Echad un vistazo a este patio. El área de las arcadas cubiertas todo alrededor de los bordes es exactamente igual al área abierta en el centro. La mayoría de los patios pequeños están construidos de igual manera, incluidos los claustros de los monasterios. Ello se debe a que esas proporciones son las más placenteras. Si el centro fuera mayor, parecería una plaza de mercado y, de ser más pequeño, da la impresión de un agujero en el tejado. Pero, para obtener la impresión adecuada, el constructor ha de ser capaz de concebir la zona abierta en el centro de tal manera que sea exactamente la mitad de todo el conjunto.

-¡Nunca pensé en ello! -exclamó Raschid con tono triunfal.

Nada le gustaba más que aprender algo nuevo.

- Euclides explica por qué dan resultado esas técnicas -siguió diciendo Jack-. Por ejemplo, las dos partes de la línea dividida son iguales porque forman los lados correspondientes de triángulos congruentes. -¿Congruentes? -inquirió Raschid.

- Quiere decir exactamente iguales.

- Ah…, comprendo.

Sin embargo, Jack pudo darse cuenta de que nadie más lo entendía.

- Pero tú podías realizar todas esas operaciones antes de leer a Euclides, de manera que no veo que hayas aprendido algo nuevo -alegó Josef.

- Un hombre siempre se perfecciona al lograr comprender algo -protestó Raschid.

- Además, ahora que ya entiendo algunos principios de la geometría, puede que sea capaz de concebir soluciones a nuevos problemas que desconcertaban a mi padrastro -manifestó Jack.

Se sentía más bien defraudado por aquella conversación. Euclides había llegado a él como el cegador destello de una revelación; pero estaba fracasando al tratar de comunicar la emocionante importancia de aquellos nuevos descubrimientos.

Los Pilares de la Tierra

Ken Follet

Trigonometría para pensar ...

2010-12-27T15:04:00.000-08:00

Jorge - me han dicho varios alumnos en los últimos días antes de vacaciones - , ¿por qué no nos pones en el blog problemas de esos que pones en los exámenes?
¿Y cómo son los problemas que pongo en los exámenes? - preguntaba yo, buscando el misterio -
Algunos de ellos me quisieron orientar diciendo: Problemas de pensar.
Todos los problemas son de pensar y para pensar, todo depende de lo que tú quieras pensar con ellos ...

Hagamos una lectura obligada para pensar (pulsa en el enlace siguiente):

Medición histórica del Teide

El pensar depende de tí.

A mí esta lectura me sugirió un pregunta de un examen de Trigonometría para mis alumnos. Pero te aseguro que muchos más problemas se pueden sacar de ella. Problemas reales, problemas que fueron historia, problemas que nos hacen entender las cosas ... sólo si queremos pensar.

A mí me hizo pensar mucho para encontrar un problema apasionante, para recordar todo lo que yo conocía de Tenerife, tierra en la que viví muchos años y que forma parte de mi ser, me hizo pensar para disfrutar .

Aquí te dejo un examen de Trigonometría del año 2007 para alumnos de 1º de Bachillerato: EXAMEN

Aprovecho también para dejarte el último examen, el examen de tus desvelos, el examen de cuyo tipo deberás realizar otro a la vuelta de vacaciones:

EXAMEN de 1º Bachillerato Diciembre de 20101

¿Cuándo me olvidé de ti? ... Mucho antes de lo de los ciruelos chinos

2010-12-27T13:09:00.000-08:00

No sé cuando dejé de escribirte; tal vez antes de que me leyeras o, tal vez, mantengo aún la esperanza, dejaste de hacerlo más tarde.

Pero te hablé y te hablé. No es excusa, aunque prioricé otras cosas y hoy estoy arrepentido. Mi debilidad es mayor que mi deseo.

Me marché leyendo para tí " ¿Y los ciruelos chinos?"

El día de Navidad me hizo renovar la esperanza: hay muchas más cosas. Hay muchas más plantas rojas azules o moradas ...

Tal vez, el año que viene, cuando volvamos a encontrarnos alguien sea capaz de sacarme del marasmo y devolverme a la vida y deje de plantearme nuevamente lo mal profesor que soy que por provocar tan solo "dudas insípidas" .

He visto más, he leído más y oí hablar incluso de coles lombardas, moradas, ligeramente dulces .

Examenes 2 y 3 de 4º de ESO.

2010-11-11T11:25:00.000-08:00

Aquí tenemos un examen de 4º de la ESO de los 3 primeros temas

Segundo examen

Tercer examen

Examen 2 del 1º Bachillerato. ¿ Que hubiera pasado si ...?

2010-11-07T03:10:00.000-08:00

El Viernes 5 de Noviembre hicimos nuestro segundo examen; el que correspondería a los dos primeros temas que podemos etiquetar como "de repaso" ...
Aquí os coloco los enunciados para que los hagáis en casa, tranquilamente y ver qué hubiera pasado si no hubiese tenido la presión de un examen. ¿Lo hubieras hecho mejor?...

Examen del Bloque de Repaso

Taller de creatividad Matemática

2010-11-03T06:05:00.000-07:00

Vista la fantástica acogida que el pasado año tuvo el Taller de Fractales, este curso, nuevamente, el Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja en colaboración con la Sociedad A Prima a decidido continuar con la actividad de Talleres Matemáticos:

Está dirigido, principalmente, a alumnos de Bachillerato.
Su objetivo es motivar a los alummos y mostrarles la cara más bella de las Matemáticas
Como regla general estructuraremos estos talleres en dos partes. En primer lugar daremos una charla de unos 45 minutos. Después, organizaremos un taller en el que los alumnos podrán poner en práctica los conocimientos adquiridos.

Toda la información al respecto la tienes en :

http://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/talleresmatematicos.shtml

¡Pregunta a tu profesor de Matemáticas y participa!

Ya está en marcha el primero de los talleres de este curso:

Tareas de Trigonometría

2010-11-03T05:39:00.000-07:00

Tal y como hemos comentado en clase:

Revisar y entender la demostración de que todo ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad del ángulo central que abarca
Tal y como hemos comentado en clase, hay que leer y entender los siguientes teoremas cuyos resultados se aplican a triángulos rectángulos. Observa detenidamente que, en su demostración, no necesitamos usar explícitamente la trigonometría sino sólo el Teorema de Thales.
Hay que observar y entender la generalización de Seno, Coseno y Tangente para ángulos cualesquiera y no solamente agudos

Ejercicios de Exponenciales y Logaritmos

2010-10-30T05:15:00.000-07:00

Os coloco aquí dos hojas de ejercicios de ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicas.
En una de las hojas hay 3 ó 4 ejercicios marcados con un (*). No lo están por su especial dificultad sino por su interés en observar cosas "elementales" de la resolución; alguno de ellos, simplemente porque aparece una ecuación de segundo grado que, aplicando cosas que ya has aprendido y usado hasta la saciedad, puedes hacer los cálculos de manera elegante y sin calculadora.

Ecuaciones exponenciales
y logarítmicas

Sistemas de Ecuaciones
exponenciales y logarítmicas

Las reglas en Matemáticas

2010-10-25T12:07:00.000-07:00

"Las reglas" que aplicamos sistemáticamente en las matemáticas escolares son, casi siempre, deducciones sencillas de razonamientos poco complejos; han sido el resultado del estudio de situaciones; han llegado haciendo matemáticas. No son meros algoritmos de cálculo salidos de la nada..

Dice Ian Steward en su libro Cartas a una joven matemática :

" Los matemáticos no pasan la mayor parte del tiempo haciendo cálculos numéricos, incluso aunque los cálculos sean a veces esenciales para avanzar. No se dedican a machacar fórmulas simbólicas, aunque las fórmulas pueden ser imprescindibles. Las matemáticas escolares que te están enseñando son principalmente algunos trucos básicos del oficio y la forma de usarlos en contextos muy simples. Si estuviésemos hablando de carpintería, es como aprender a utilizar un martillo para clavar un clavo, o a serrar una pieza de madera. Nunca verás un torno o una taladradora eléctrica ni aprenderás a construir un silla, ni muchos menos a diseñar y construir un mueble.
No es que un martillo y una sierra no sean útiles. No puedes hacer una silla si no sabes cortar la madera con el tamaño correcto. Pero no deberías suponer que puesto que eso es todo lo que has hecho en la escuela, eso es todo lo que hacen los carpinteros.
[...]
Las escuelas [...] están tan preocupadas por enseña a sumar que apenas preparan a los alumnos para responder (o incluso plantear) la pregunta mucho más difícil e interesante: ¿qué son las matemáticas?

[...]
Cuando discuten dos matemáticos - y lo hacen, a menudo de un modo muy apasionado y agresivo -, de repente uno se detiene y dice: 'Lo siento, tienes toda la razón, ahora veo mi error'. Y se irán y comerán juntos, como grandes amigos"

La mayor parte de los alumnos no se convertirán en matemáticos ni en carpinteros pero, si las habilidades básicas que aprenden las entienden, les pueden ser de mucha utilidad en su vida posterior.
El razonamiento lógico y la argumentación fundamentada siempre están por encima de la obstinada memoria

Si tengo un polinomio cualquiera con coeficientes enteros (para simplificar voy a representar uno de grado 2):
p(x)= A x² + B x + C

Me dicen que m es un número entero raíz de dicho polinomio
p(m)= A m² + B m + C = 0
m ( A m + B) + C = 0
m (A m + B) = -C

Por tanto, C es múltiplo de m, o lo que es lo mismo:
La raíz, m ,tiene que dividir al término independiente del polinomio C

Cuando entiendo lo que acabo de exponer es muy fácil concluir, si la necesito, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio; es muy fácil reconstruir, si la he olvidado, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio; es muy fácil entender, por qué es así, la regla para buscar raíces enteras de un polinomio.

Cuando sólo te aprendes "la regla para encontrar las raíces enteras de un polinomio" sin que sea el resultado de tu reflexión, ... ¿Quién te salvará de hacer cosas que no entiendes? ¿Quién te impedirá agarrarte a tu memoria y discutir y discutir sin entender y por tanto sin poder decir ... "lo siento, tienes toda razón, ahora veo mi error"?

Las mentiras con los números (Capítulo 1)

2010-10-22T12:48:00.003-07:00

Si lees hasta el final esta entrada verás que, además de asombrate de falacias numéricas, podemos agradecer los esfuerzos de mucha gente e incluso, por increible que te parezca, podrás concluir que, aunque no quieras verlo, el hecho de que te comportarse como un cerdo le afecta a otras personas

Siempre estamos a tiempo para hacer magia, engañar a incautos o probar si realmente sabemos hacer "cuentas" lo suficientemente bien como para que no nos den "cero por 1".
Así que aquí van las primeras falacias con igualdades alucinantes.
Muchas de las que os colocaré en este blog, aunque no todas, pertenecen al Calendario Matemático de SM del curso 2008-2009 , mes de Mayo de 2009 , mes elaborado por el Departamento de Matemáticas del IES Leonardo Da Vinci de Albacete.
Por cierto, esto me hace recordar que, en el Calendario Matemático de SM, de este curso 2010-2011 , el mes de Marzo de 2011, ha sido elaborado por mi compañero y profesor de nuestro centro Javier Gallarreta Espinosa (sirva esta entrada también como reconocimiento a su tarea y, fundamentalmente, como premio a su gusto por las matemáticas).

Pero vayamos a lo nuestro:

Empezando con algo ... fácil, fácil, fácil ....¿Dónde está la falacia?
Ahora, igual pero un poco más abstracto:
Bueno, si con las letras no te entiendes mucho, volvamos a los números y metamos las letras suavemente:
Esta podía ser una pregunta de nuestro examen de logaritmos así que ...¿Dónde está la falacia?:
Y tal y como os he insistido en clase ..."cuidadin con esas mentiras en las fracciones algebraicas porque no es x todo lo que reluce:

Pensemos, que es gratis y es bueno para mantener a raya el Alzheimer que, como sabéis, es una enfermedad neurodegenerativa llamada así como homenaje a la primera persona que identificó por primera vez sus síntomas, el psiquiatra y neurólogo aleman Alois Alzheimer.
Aunque, que conste, que el señor no inventó la enfermedad . Lo que quiere decir que él no es en modo alguno su causante y que, aunque no la hubiera identificado, seguiría existiendo.

Y digo esto último, "que nunca doy puntada sin hilo", para abundar en el hecho de que, sólo cuando te hacen recoger los papeles del suelo de tu aula o de los pasillos te das cuenta que "los demás" son unos "cerdos"; pero que, "los demás" y "tú mismo" se comportan como tal aunque no tengan que recogerlos. Lo triste es que no te das cuenta hasta que te afecta en carne propia.

Nuestros primeros exámenes

2010-10-15T07:51:00.000-07:00

La primera hora de la verdad o, tal vez, de la mentira, ha llegado.
Un examen que demostrará no sabemos qué a no sabemos quien. Lo importante es que te demuestre a ti lo que realmente has aprendido y lo que realmente sabes.

Aquí os coloco dos exámenes sobre los mismos conceptos aunque uno de ellos lo hemos hecho en 4º de la ESO y otro en 1º de Bachillerato:

Software para Matemáticas y algunas reflexiones

2010-10-14T12:36:00.000-07:00

Quiero que esta entrada del blog sirva, fundamentalmente para que localicéis dos programas de mucho interés para el estudio y, sobre todo, el aprendizaje de las Matemáticas:

	Geogebra
	Maxima

Os recomiendo que los descarguéis y los instaléis en vuestro ordenador. Nosotros los usaremos de vez en cuando en clase para ilustrar las explicaciones. Con ambos programas tenemos un apoyo muy ilustrativo para todos los temas de este curso.

Os remito también a una dirección web en la que podéis trabajar on-line:

http://www.wolframalfa.com

Además, si queréis aproximaros a lo que yo opino sobre lo que es importante aprender, os recomiendo leer la introducción del Manual de Maxima y wxMaxima de José Antonio Vallejo Rodríguez haciendo una reflexión sobre "La enseñanza de las Matemáticas y el uso de programas de cálculo simbólico".
En él podréis leer cosas como estas:

La mayor parte del análisis de procesos en la empresa, es demasiado voluminoso y complejo como para que se pueda hacer "a mano". El uso de simuladores de flujo de datos, de paquetes de análisis de datos estadísticos, de modelos predictivos de valores bursátiles, etc., es algo cotidiano en cualquier empresa incluso de mediano tamaño, y lo que se pide a los profesionales de hoy no es que al acabar sus estudios universitarios ya tengan un dominio completo de estas herramientas, sino que estén capacitados para comprenderlas y utilizarlas.
Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas se ha dividido en las clases teóricas y las clases prácticas, aún cuando en estas últimas lo que se resolvían eran problemas académicos de escaso interés práctico.
[...] es frecuente en nuestras universidades encontrar profesores que se empeñan en hacer de los estudiantes clones de aquel Ireneo Funes "el memorioso" de quien nos hablara Borges. Es comprensible que alguno de estos profesores, educado en la más estricta ideología medieval, quiera propagarla y mantenerla a toda costa, pero las necesidades de nuestros estudiantes hoy son otras bien distintas.
[...]Y las matrices que uno se encuentra cuando trabaja como matemático nunca son matrices reales 3×3. Esas sólo se ven en los libros. Un Senior Network Analyst, por ejemplo, al estudiar la estructura de las interconexiones en una LAN de mediano tamaño se puede encontrar una matriz de incidencia 1000 × 1000 fácilmente.

Aprendiendo con mis alumnos

2010-10-12T11:21:00.000-07:00

Hace unos días comentábamos en clase la entrada de este blog:

Esto si es grande

En ella se hace referencia a la noticia original en la que aparece la frase:

"[...]dijo Jane Wess, curadora de matemáticas del Museo de Ciencias de Londres"

Uno de mis alumnos me preguntó, ¿qué significa curadora?
Cuando lo leí le comenté que no lo sabía y que me daba la impresión que era un error de taducción o una taducción literal del inglés pero que lo dejábamos como tarea para que lo investigaran.
Es verdad que ninguno me ha vuelto a decir nada de aquello. Estoy seguro que nadie lo anotó ni lo ha mirado. ¡No es extaño teniendo en cuenta que, además, estamos en clase de matematicas y esto parece de lengua! ¡Hasta a mi se me había olvidado aunque parece que algo me quedó en el subconsciente!
Hoy he empezado un nuevo libro titulado La Hermandad Invisible de Kurt Aust y en él he leído, en la página 7 u 8, al principio del libro, donde el autor expresa algunos agradecimientos a personas que de uno u otro modo le ayudaron:

"A Adam J. Perkins, Curator of scientific manuscrits de la Cambridge University Library, que hizo lo posible por brindarme la oportunidad de hojear uno de los libros de notas científicos originales de Newton (contenía anotaciones preliminares sobre los principios de la fuerza de gravedad); fue un instante casi sacro para mí."

Y aquí me aparece "Curator" como palabra en inglés, cuyo significado he buscado y he encontrado lo siguiente:

Curator: A keeper or custodian of a museum or other collection.

¡Qué maravilla! Un alumno me hizo detenerme en un detalle que me ha servido para aprender algo interesante.
Además esto me sirve para recomendaros un nuevo libro.

Un bonito examen ...

2010-10-10T13:44:00.000-07:00

Siempre me pregunto e intento que mis alumnos se pregunten para qué sirve lo que les enseñamos en la asignatura de Matemáticas.
A veces es muy duro entrar a clase y ver una pizarra llena de símbolos y fórmulas que han llenado los profesores de Física, Química , Tecnolgía, ... y observar que nosostros, los que tendríamos que dar esas herramientas de cálculo, no hemos llegado ni por asomo a ellas; que nosotros, los que deberíamos enseñarles los fundamentos de cálculo, les estamos adiestrando en herramientas mucho más elementales y que no entienden o domina; que nosotros, los "cocos de Matemáticas" estamos jugando con cuestiones más sencillas y elementales que las que usan en las demás asignaturas.
En esos momento uno se pregunta cómo podemos hacer tanto el idiota en nuestro sistema educativo.

Yo seguiré con mi mundo aunque no dejaré de sentir zozobra en cada una de estas ocasiones. Yo seguiré haciendo el tonto pero, lo que tengo claro es que, lo que yo les explico debo intentar que lo utilicen y lo entiendan, que sean capaces de leer información científica en cualquier lugar y comprenderla, usar las matemáticas que les doy para algo. Por eso, este enlace que os presento me lleva a lo que me gustaría que fuera un exámen de matemáticas de este primer tema en el que hablamos de Errores (un curso más - como si con los que nuestro sistema tiene no fuera suficiente-), de Notación Científica (un curso más) y de Logaritmos (quién sabe para qué):

Un examen de prueba

Matemáticas y Narrativa

2010-10-08T06:08:00.001-07:00

Desde hace unos años, la Real Sociedad Matemática Española y Anaya , convocan un concurso de relatos cortos.
Si te gusta escribir, anímate, pregunta a tu profesor de Matemáticas.

Bases del concurso Narraciones Escolares RSME-ANAYA 2010

Por si te sirve de ayuda, para que veas que no se trata de escribir textos de matemáticas sino literatura que haga guiños a las matemáticas, Anaya publicó el libro Ensoñaciones desde mi pupitre con los 18 cuentos seleccionados de la edición de 2008.

Hoy he llamado idiotas a mis alumnos

2010-10-08T02:40:00.000-07:00

No lo he podido evitar...

Hace no muchos años que aprendí lo que significaba la palabra idiota. Un profesor de Lengua del IES Valle del Oja de Santo Domingo de la Calzada comentaba en la sala de profesores que, a veces, llamaba idiotas a sus alumnos. Pero idiotas, no como insulto, sino como un calificativo.

Idiota: Corto de entendimiento. Que carece de toda instrucción.

Pero hoy intentaba explicar a mis alumnos lo que es un maestro ó profesor; quizá debería decir, lo que tendría que ser. Esta frase de una joven maestra con ansias de saber y aprender más para poder enseñar mejor, lo explica con mucha claridad:

"A veces ardo en deseos de poder estudiar mejor, de una manera diferente; de tener por guía, además de los libros, a un profesor y poder compartir las dificultades con los otros alumnos que las sufren, [...]"

La incógnita de Newton - Catherine Shaw

En uno de mis cursos he intentado leerles esta frase y, no se han molestado en escuchar. ¡Más o menos lo que siempre hace un alumno en clase con las cosas importantes que supone no entran en un examen!

Obviamente les he llamado idiotas. Idiotas por ser como sus padres y sus abuelos. Por ir al colegio aprobar exámenes y no a aprender y entender lo que estudias. Por no preguntarse para qué sirven las cosas que me explican. Por no intentar entender y sólo preocuparse de lo que van a preguntar en los exámenes.

En otro de los cursos, la anécdota ha sido la que puede probar cualquier profesor en cualquier clase:

- He preguntado quién "no sabía hacer un ejercicio" que habíamos mandado como tarea el día anterior.

- Ni una sola mano se ha levantado de lo que, les he dicho:

" Deduzco que todos sabéis hacerlo. Por tanto voy a preguntar a cualquiera de vosotros y, si no lo sabe hacer, le pondré un 0. No por no saberlo, he añadido, sino por mentiroso e idiota"

- Pero siendo profesor necesitaba demostrarlo así que les he intentado enseñar algo:

"Voy a repetir la pregunta, he dicho, para que me digáis quién no sabe hacer el ejercicio, porque la tarea de un profesor no es poner ceros al que no sabe sino explicar al que no entiende y, la tarea de un alumno es intentar entender y aprender y utilizar al profesor para ello."

- Todos los alumnos de la clase excepto 3 han levantado la mano. Muchos no entendían el ejerciccio, la mayoría, otros no sabían si lo entendía porque no lo habían intentado. Pero el ejercicio no era sencillo, tal vez hacía falta un profesor para explicárselo a mucha gente. Pero ...

Magia con un poco de álgebra ...

2010-10-07T09:33:00.000-07:00

Es fácil saber lo que estás pensando incluso en la distancia.
¿No me crees? ¡Comprobémoslo!

Piensa un número:
- Multiplícalo por 2.
- Sumale 4
- Multiplícalo por 5
- Restale 2
- Divídelo por 2
- Restale 9
- Divídelo por 5
- ... Te lo dije. ¡Sé lo que estabas pensando!

Ahora te voy a adivinar el mes de tu nacimiento y los años que tienes ...:
- Piensa en el número del mes que naciste
- Multiplícalo por 2.
- Súmale 5
- Multiplícalo por 50
- Súmale la edad que tienes actualmente
- Réstale 250.
- Mira detalladamente el número que has obtenido y separa un poco la cifra de la izquierda
- ... Te lo dije. ¡Ahí tienes tu mes de nacimiento y tu edad!
  
  ¡Mucho cuidado si pretendes adivinar estas cosas a tu bisabuela. En ocasiones tiene efectos secundarios!

Hoy estoy contento ...

2010-10-07T08:02:00.000-07:00

No, no sólo contento, exultante. Un alumno ha leído algo de este blog. Quizá alguno más lo haya hecho, pero uno me ha preguntado en clase por algo que había leído aquí.
¡Qué maravilla!
Porque ... ¿de qué sirve un profesor si lo que cuenta no motiva en nada a ninguno de sus alumnos?
Así que, uno de los problemas que nuestro "filósofo" Thales de Mileto había planteado sobre una corona circular resulta que:

Para visualizar el applet necesitas tener instalado el software de Java y permitir que tu navegador ejecute applets
Si haces doble click sobre el applet se abrirá una ventana mayor con el fichero de geogebra para jugar con él más fácilmente

Ahora entiendo a Sócrates ...

2010-10-03T02:58:00.000-07:00

Quizá los filósofos no sea tan parecidos a un tertuliano de radio ... Hoy he leído sobre Sócrates en "El mundo de Sofía" y, resulta que me gusta, que yo también me siento filósofo si eso es ser un filósofo.
El problema está en nosostros, en nosostros mismos. Sólo si comprendes que hay muchas cosas que no sabes ni entiendes puedes buscarlas y aprender. Sólo si sientes la la verdadera necesidad de conocer buscas y entiendes.
Así que aquí va una colección de reflexiones a las que encuentro mucho parecido:

"El mundo de Sofía".
"Lo más lejos a tu lado" de Fito y los Fitipaldis
"Hypatia, la mujer que amó la ciencia" de Pedro Gálvez
"El lamento de un matemático" de Paul Lockhart

El mundo de Sofía ...
[...] De modo que no enseñaba como cualquier maestro de escuela. No, no, él (Sócrates) conversaba.
Está claro que no se habría convertido en un famoso filósofo si sólo hubiera escuchado a los demás. Y tampoco le habrían condenado a muerte, claro está. Pero, sobre todo, al principio solía simplemente hacer preguntas, dando a entender que no sabía nada. En el transcurso de la conversación, solía conseguir que su interlocutor viera los fallos de su propio razonamiento.
[...]
Se dice que la madre de Sócrates era comadrona, y Sócrates comparaba su propia actividad con la del «arte de parir» de la comadrona. No es la comadrona la que pare al niño. Simplemente está presente para ayudar durante el parto. Así, Sócrates consideraba su misión ayudar a las per¬sonas a «parir» la debida comprensión. Porque el verdadero conocimiento tiene que salir del interior de cada uno.
[...]
Los sofistas cobraban por sus explicaciones más o menos sutiles, y esos sofistas han ido apareciendo y desapareciendo a través de toda la historia. Me refiero a todos esos maestros de escuela y sabelotodos que, o están muy contentos con lo poco que saben, o pre¬sumen de saber un montón de cosas de las que en realidad no tienen ni idea. Seguramente habrás conocido a algunos de esos sofistas en tu corta vida. Un verdadero filoosfo, Sofía, es algo muy distinto, más bien lo contrario. Un filósofo sabe que en realidad sabe muy poco, y, precisamente por eso, intenta una y otra vez conseguir verdaderos conocimientos.
Sócrates fue un ser asi, un ser raro. Se daba cuenta de que no sabía nada de la vida ni del mundo, o más que eso: le molestaba seriamente saber tan poco.
Un filósofo es, pues, una persona que reconoce que hay un montón de cosas que no entiende. Y eso le molesta. De esa manera es, al fin y al cabo, más sabio que todos aquellos que presumen de saber cosas de las que no saben nada. «La más sabía es la que sabe lo que no sabe», dije. y Sócrates dijo que sólo sabía una cosa: que no sabía nada.
[...]
La madre estaba atónita. Al final dijo:
- ¿Es algo que has aprendido en el instituto?
Sofía nego enérgicamente con la cabeza.
-Allí no aprendemos nada... La gran diferencia entre un maestro de escuela y un auténtico filósofo es que el maestro cree que sabe un montón e intenta obligar a los alumnos a aprender. Un filósofo intenta averiguar las cosas junto con los alumnos.

Lo más lejos a tu lado

Ahora si, parece que ya empiezo a entender

Las cosas importantes aquí

Son las que están detrás de la piel

Y todo lo demás….

empieza donde acaban mis pies

después de mucho tiempo aprendí

que hay cosas que mejor no aprender.

El colegio poco me enseño…..si es por esos libros nunca aprendo a:

Coger el cielo con las manos

a Reír y a llorar lo que te canto

a Coser mi alma rota

a Perder el miedo a quedar como un idiota

y a empezar la casa por el tejado

a poder dormir cuando tú no estás a mi lado

menos mal que fui un poco granuja

todo lo que se me lo enseñó una bruja

Ruinas…. ¿no ves que por dentro estoy en ruinas?

Mi cigarro va quemando el tiempo,

tiempo que se convirtió en cenizas

Raro!! …. no digo diferente digo raro!!

ya no sé si el mundo está al revés

o soy yo el que está cabeza abajo

El colegio poco me enseñó….

si es por el maestro nunca aprendo a:

coger el cielo con las manos…..

Hypatia, la mujer que amó la ciencia
[...] Pero un buen día tuvo la idea de empezar a enseñarle matemáticas. En realidad la idea no había sido de él, sino de su maestro, de Pappo (Pappus), quien le había dicho que si quería que su hija supiese matemáticas, ya podía empezar a enseñárselas, pues jamás las entendería en la escuela entre tanto asno que se hacía pasar por maestro.

El lamento de un matemático
El problema cultural es un monstruo que se perpetúa a sí mismo: los estudiantes aprenden matemáticas de sus profesores, que a su vez las aprenden de otros profesores, de modo que esta falta de entendimiento y gusto por las matemáticas en nuestra cultura se replica indefinidamente. Peor aún, estas “pseudo-matemáticas”, este énfasis en la manipulación precisa pero vacua de símbolos, crea su propio conjunto de valores culturales. Aquellos que han conseguido dominarlas obtienen una buena dosis de autoestima de su éxito. Lo último que desearían oír es que las matemáticas son creatividad y sensibilidad estética. Más de un estudiante universitario ha sentido la frustración de descubrir, después de una década de creer que eran “buenos en matemáticas” por lo que les decían sus profesores, que no tiene de hecho talento matemático alguno y que en lo que destaca realmente es en seguir instrucciones. Las matemáticas no consisten en seguir instrucciones, sino en crear nuevas direcciones qué seguir.
Ni siquiera he mencionado hasta ahora la falta de crítica matemática en las escuelas. En ningún momento se revela a los estudiantes el secreto de que las matemáticas, como la literatura, es creada por personas para su propio entretenimiento; que el trabajo de los matemáticos está sujeto a una apreciación crítica; que uno puede desarrollar y tener gusto matemático. Un poco de matemáticas es como un poema, y como con un poema podemos preguntarnos si satisface nuestros criterios estéticos: ¿es este argumento convincente? ¿Tiene sentido? ¿Es simple y elegante? ¿Acerca o no al quid de la cuestión? Por supuesto que no se hace crítica alguna en las escuelas —¡no se hace arte alguno que pueda criticarse!

El mundo de Sofía- Reflexión 1 -

2010-10-02T03:29:00.000-07:00

La profesora de filosofía de mis alumnos de 1º de Bachillerato me ha comentado que les piden leer "El mundo de Sofía" de noruego Jostein Gaarder .

He comenzado a leerlo y me he remontado a los años en que yo estudié la filosofía de 3º de BUP y la historia de la filosofía de COU. Sus impactos en mí, como en la mayor parte de los adolescentes, el hecho de que la filosofía de 3º de BUP me llevó a "perder la fe en la que me habían enseñado a creer", ...

Pero también a posiciones muy críticas con los filósofos y, sobretodo, con los profesores de filosofía. De hecho, ahora pienso que "un filósofo es alguien mucho más parecido a un tertuliano de radio que a un científico" (sin ningún ánimo de ofender y sí como instrumento de debate del que tan profusa es la filosofía). Las matemáticas son distintas; las matemáticas tienen un principio fundamental, la demostración. (Pero no la demostracion filosófica, política o judicial).

Sólo he leído unas 50 páginas y he concluido algunas cosas, como filósofo:

Es un libro que puede venir muy bien para estudiar la historia de la filosofía. Este hecho me lo ha corroborado uno de mis hijos que lo ha leído y al que se lo recomendó una amiga que le dijo lo mismo.
Recordar algo de la historia de la filosofía griega me ha llevado inmediatamente a una lectura fabulosa que les dí a mis alumnos de 3º de la ESO hace unos años en la que podemos encontrar dos elementos diferentes pero altamente instructivos ambos como elementos de debate y formativos:
1. Una inmensa ironía del autor en la que deja entrever la diferencia que él encuentra entre un filósofo y un científico. (¿Tales de Mileto era filósofo ó matemático?¿Es un filósofo un científico?¿Es un científico un filósofo?)
2. Un problema matemático muy interesante que nos podría proporcionar materia para 4 ó 5 clases de matemáticas completas y que cualquier alumno de 3º ó 4º de la ESO tiene herramientas para solucionar, cuanto más uno de 1º de Bachillerato.

Ejercicio:

Os dejo aquí el documento al que me refiero con el "cuento-problema-reflexión" . Como siempre, aparece la referencia de dónde he sacado el cuento aunque el documento incluye alguna pequeña aportación más:

Los siete sabios de Grecia (En PDF. Cuento ampliado)

¿Para qué sirven los logaritmos?

2010-10-01T13:19:00.000-07:00

Uno de los conceptos más difíciles de entender en las matemáticas estudiantiles actuales es el de logaritmo. Esta dificultad se acrecienta cuando lo único que enseñamos a nuestros alumnos de los logaritmos es "pura algoritmia" de cáculo sin mucha noción de comprensión.
Por otro lado, el avance para el cálculo y para la ciencia que supuso "la estrategia de los logaritmos", ha dejado de tener sentido desde el advenimiento de las máquinas que calculan.

Pincha en la imagen y mira un
libro real
de tablas de logaritmos

Porque:

Los logaritmos se desarrollaron como una herramienta para hacer de forma más eficiente las multiplicaciones, las divisiones y la extracción de radicales cuando nos enfrentábamos a números muy grandes o, números con muchos decimales.
"El logaritmo" transforma un producto en una suma , un cociente en una resta, una potencia en una multiplicación sencilla y una raíz en una división sencilla.
Se usaban tablas que permitía obtener el logaritmo de cada número con una buena aproximación y, el proceso inverso, es decir, sabiendo el logaritmo, determinar el número al que le correspondía.

Cualquier estudiante de hace años que quisiese hacer una multiplicación como esta ...

0'02345678 x 1'67345678

conocía muchas cosas que, tal vez los estudiantes actuales conocen pero que entonces eran de una necesidad imperiosa para hacer "de manera eficiente" la operación y que al estudiante actual no le preocupa y jamás reflexionará sobre ella porque tiene una calculadora y, su profesor tampoco le exijirá que reflexione sobre ello. Algunas de estas reflexiones podrían ser:

Puedo hacer las multiplicación sin decimales:
0'00000012 · 0'00000025 =
12 · 10^-8 · 25 · 10^-8=
12 · 25 · 10^-8 · 10^-8=
12 · 25 · 10^-16
En este caso preparado, la operación no necesita calculadora y, cuando lo entiendo y lo manejo con soltura, tardo menos en hacer esto que teclear en la máquina.
Las tablas de logaritmos (en base 10) que se usaban no incluían todos los números del mundo mundial, porque si tenían el logaritmo de 12 y el logaritmo de 25 los antiguos estudiantes sabían perfectamente que:
log(0'0000012) = log(12 · 10^-8)=
log(12) · log(10^-8) = log(12) - 8
Como log( a · b) = log(a) + log(b)
log(12 · 25 · 10^-16) = log(12)+log(25)+(-16)
Ahora habría que buscar en nuestro libro de las tablas de logaritmos log(12) , log(25) y sumar para obtener:
2'47712125
Por último, buscando en nuestro libro de tablas la inversa del logaritmo, llamado antilogaritmo aunque en realidad es una exponencial de base 10:
10^2'47712125
Considerando que aquí todo alumno tenía que tener claro el concepto de interpolación, que lo más probable es que en nuestras tablas no apareciese el número 247712125 (observa que está sin decimales) sino que puede que estuviera 24771 y 24772, llegaríamos a la conclusión de que:
10^2'47712125
= 300 aproximadamente.
Por último, recomponiendo todo, concluimos:
0'0000012 · 0'000025 =
12 · 10^-8 · 25 · 10^-8=
12 · 25 · 10^-8 · 10^-8=
12 · 25 · 10^-16=
10^{(log(12 · 25)}-16=
300 · 10^-16=
3 · 10^-14
Pero lo más importante es que todo estudiante de hace tiempo sabía que esta multiplicación debía hacerla empezando por el punto 1 anterior y, después, se hace mucho antes y de forma más precisa multiplicando a mano 12 · 25 = 300. Y cualquier estudiante de hoy, sin calculadora, se vería en un verdadero aprieto para hacer estos cálculos si no está estudiando en ese momento el tema que hable precisamente de estas cosas que, seguro que ya no se acuerda de cuál era y de cuándo fue.

Para una explicación más detallada de cómo y para qué nacieron los logaritmos, te aconsejo que leas las 13 primeras páginas del libro que aparece arriba. No tienes mas que pinchar sobre la imagen y te llevará al libro completo. Incluso puedes descargarlo a tu ordendor en PDF.
En esas 13 páginas te ilustra el proceso de cálculo y te permitirá hacer reflexiones sobre las propiedades de los logaritmos así como probarte a tí mismo en cuanto a "comprensión lectora" con un concepto no muy trivial.

La utilidad fundamental de los logaritmos en aplicaciones habituales de tu entorno se resumen en un principo: manejar escalas logarítmicas, es decir, reducir a sumas los productos o a productos las potencias.

Cuando queremos comparar cosas extremadamente grandes con cosas extremadamente pequeñas: por ejemplo: los tamaños de seres microscópicos junto con el tamaño de los seres vivos más grandes.
Cuando manejamos fórmulas de interés compuesto en las que los exponentes aparecen de manera habitual.
Cuando hablamos del PH , que es una concentración media según una escala logarítmica.
Cuando medimos la intensidad de los terremotos de acuerdo a la escala Richter.
Cuando hablamos del brillo de las estrellas (magnitud aparente).
La intensidad del sonido (Decibelios) también es una escala logarítmica.

¿Pero hay algo tan pequeño fuera del aula de matemáticas?

2010-10-01T11:43:00.000-07:00

Según cuenta la prensa el 1 de octubre de 2010, se había detectado un posible caso de doping en el pasado Tour de Fancia. En la orina de Alberto Contador había Clembuterol.

El Clembuterol se usa como medicamento para descongestionar las vías respiratorias y tiene efectos broncodilatadores. Pero los estudios médicos observaron que, como producía también un aumento de la masa muscular en detrimento de la grasa del organismo.

Pero lo curioso del caso es la cantidad encontrada. Según el Diario La Rioja : "La concentración que se encontró en el laboratorio se estimó en 50 picogramos (0,000 000 000 05 gramos por mililitro), es decir cuatrocientas veces menos que la concentración que los laboratorios antidopaje acreditados por la AMA pueden detectar."

De hecho, a día de hoy sólo hay cuatro laboratorios en el mundo que disponen de la tecnología suficiente como para detectar una catidad tan pequeña.

Ejercicio: (Para operar en notación científica)

¿Por qué crees que la prensa no ha colocado el número en notación científica o se ha limitado a decir que son 50 picogramos?
Qué significa el prefijo del sistema métrico decimal pico .
¿Cuál es la cantidad mínima de esta sustancia que detectan los laboratorios habituales acreditados por la AMA (Agencia Mundial Antidopaje)?
¿Qué cantidad de clembuterol habría en una muestra de orina que tuviera esa concentración de clembuterol si suponemos que la muestra fue de 300 cm³y que la densidad de la orina era de 1020 Kg/m³?
El tamaño de la muestra de orina y su densidad no son datos arbitarios. Podías buscar información para comprobar que es así y hacer una relexión sobre ello para tus clases de Biología y/o Física y Química.

Googol y Google

2010-09-30T11:09:00.000-07:00

Es una historia superconocida que Google viene de Googol. De hecho, el buscador de Internet más conocido del momento debe su nombre a un error ortográfico de uno de sus fundadores. Quisieron ponerle Googol (palabra que, una vez castellanizada por su pronunciación nosotros decimos Gúgol) pero, Larry Page, lo escribió mal y acuñó el tan conocido Google.

1 gúgol = 10¹⁰⁰

Pero lo más interesante es por qué quisieron poner Googol al buscador, ya que entonces nos encontraremos con la curiosa historia de un número muy grande, de cómo el sobrino de un matemático acuñó un nombre que ha pasado a la posteridad y, desde el punto de vista académico, la notación científica y los números astronómicos.

Os remito aquí a la Wikipedia para que aprendamos más sobre la inmensidad del Gúgol y os enlazo un interesante vídeo de Carl Sagan , el fabuloso divulgador científico:

El matemático del Rey

2010-09-30T10:05:00.000-07:00

No hay cómo explicar a alguien la belleza y la necesidad de la sabiduría, del conocimiento, la inquietud por el saber. No hay cómo hacer vivir la satisfacción y el placer de aprender, se debe sentir y es tan lastimoso no poder hacerlo como no haberse enamorado nunca.
Hay en la literatura muchos pasajes que ilustrarían esta idea. Este podía ser uno de ellos:

[...]

   - Pronto te has levantado, Inesa. ¿Has ido a traer el sol?
   - Ya viene solo cada día. Las cosas del cielo no iré yo a buscarlas, bien lo sabes.
   - Las cosas del cielo… -repitió Lezuza.
   - Las que tú conoces tan bien. No sabes lo que importa, pero sabes mucho de los cielos, las estrellas, los planetas, la Luna, los cometas y todas esas cosas de comer que van dando vueltas en el aire.
   En camisa todavía, Lezuza se acercó a Inesa con ánimo de remediarle la tristeza y corregirle dulcemente la ironía. Ella volvió la cara hacia otro sitio y bajó al suelo la mirada.
   - No engordes esa pena que tienes metida en el cuerpo desde hace tanto tiempo, Inesa. Si lo miras bien, nunca nos faltó pan ni un trozo de tocino que darle a Pascual y que llevarnos a la boca. No tenemos varias camisas para mudar, ni nos suenan en la bolsa doblones que nos sobren, pero vamos haciendo la vida unos días con los otros.
   Se acercó más aún a Inesa, se sentó a su lado y dijo:
   - Tú me desprecias porque miro las luces del cielo con más afición que la cuenta estrecha de mi paga de maestro. Pero las luces del cielo me enseñan que el mundo no es como lo explican los sabios. ¡Estoy hablando del mundo, Inesa -dijo, levantando la voz-, de todo el universo, no de una morcilla de más o de menos! ¡Te hablo de las leyes que gobiernan el día y la noche, de la geometría de Dios, Inesa, no de un puchero de caldo en la mesa de mi casa!
   Inesa, en silencio, siguió mirando al suelo y Lezuza, sin poder adivinar la causa, percibió que ella temblaba. El matemático en camisa se arrepintió entonces del tono que había usado un momento antes y creyó que había gritado. Para aliviarle a Inesa ese temblor le cogió las manos y la abrazó después.
   - Hace muchos años -dijo Lezuza con voz baja y persuasiva-, junto a una hoguera que se apagaba, una noche sin luna, un hombre levantó la vista al cielo y se preguntó qué eran las estrellas. Desde entonces, Inesa, los hombres han mirado al cielo haciéndose la misma pregunta.
   Lezuza dejó de hablar en este punto. Respiró profundamente y añadió:
   - Preguntas, Inesa, las preguntas han ido haciendo al mundo y a los hombres. Los antiguos pensaron que las estrellas eran agujeros por los que se ve una llama, que eran hogueras encendidas. ¿Por qué no se caían a nuestros pies? ¿Quién encendía esa lumbre cada noche?
   A Lezuza se le quebró la voz en ese momento y asomó a sus párpados una lágrima que no llegó a derramar. Puso su barbilla sobre el hombro de su mujer y la abrazó más fuerte. Con una voz ahogada que escapaba entre dos sollozos disimulados, dijo:
   - Las leyes de la naturaleza, la geometría del cielo, Inesa, es el pensamiento de Dios.
   Deshizo el abrazo poco a poco y, mirando a los ojos de Inesa, Lezuza añadió con una sonrisa:
   - ¡Tengo que… hacerlo…!

El matemático del Rey - Juan Carlos Arce -

Esto si es grande

2010-09-30T09:39:00.000-07:00

Fuente: ADP - 16 Noviembre de 2007 -

El francés Alexis Lemaire, de 27 años, volvió a derrotar a las calculadoras más avanzadas y quebró ayer en Londres su propio récord, al resolver la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos en sólo 70 segundos.

En una prueba que se llevó a cabo en el Museo de Ciencia de Londres, Lemaire calculó la raíz decimotercera de un número de 200 dígitos con sólo el poder de su cerebro en apenas 70,2 segundos y rompió su récord anterior, de 72,4 segundos.

El gimnasta matemático está haciendo un doctorado sobre inteligencia artificial en la Universidad de Reims, al noreste de Francia. Y ayer calculó la cifra de 2.407.899.893.032.210 entre las 393 trillones de respuestas posibles. Nada menos.

Ese número (2 trillones, 407 billones, 899.893 millones, 032.701) multiplicado por sí mismo trece veces produce el gigantesco número de 200 dígitos que fue escogido aleatoriamente por una computadora.

Lemaire “se sentó y todo el mundo guardó silencio y, luego, súbitamente, anunció la respuesta”, dijo Jane Wess, curadora de matemáticas del Museo de Ciencias de Londres. “Creo que esta es la suma más alta que jamás haya sido calculada mentalmente”, afirmó la experta.

El joven sostiene que para mejorar la aritmética mental hay hacer sumas y sumas con una velocidad en aumento. Y que el cerebro no funciona bien si la persona está cansada o estresada.

Una cosa realmente interesante a observar es:

La "imprecisión" o "el error absoluto tan grande" que se comete al manejar los números en notación científica
La engorrosidad y casi imposibilidad de manejar números con muchas cifras sin "redondearlos" para poderlos expresar de una manera más legible

Sobre números grandes y pequeños-I

2010-09-30T08:55:00.000-07:00

En la era digital de hoy en día, ¿quién no ha oído hablar de pixel?, ¿quién no ha sido bombardeado alguna vez por muchos megapixel?
Otra cosa será si realmente sabemos lo que esto supone.

Hoy se me ha ocurrido un ejercicio leyendo hoy una noticia de agencia en Internet:

Venus - Boticelli

Roma, 30 sep (EFE).- Seis obras cumbre del Renacimiento italiano pueden contemplarse milímetro a milímetro en internet gracias al proyecto de digitalización en alta definición de los cuadros de la Galería de los Uffizi de Florencia, que ofrece sus primeros resultados de manera gratuita hasta el próximo 29 de enero.

[…]

Para lograr este resultado se ha utilizado una avanzada tecnología de alta definición que permite producir imágenes de una calidad extraordinaria en las que es posible observar los detalles hasta a una centésima de milímetro sin pérdida de nitidez y con absoluta fidelidad cromática al cuadro original.

Por ejemplo, para representar la refinada técnica pictórica de la "Primavera", de Boticelli, han hecho falta 28.000 millones de píxeles -unas 3.000 veces más que en la resolución de una fotografía realizada con una cámara digital normal-, con los que el internauta puede pasearse por cada pincelada.

Fuente: http://es.noticias.yahoo.com/9/20100930/ten-el-renacimiento-italiano-milimetro-a-bb94fdd.html

Ejercicio:

a) Pasa a notación científica el número de píxeles que han hecho falta para representar con la nueva técnica “Primavera” de Boticelli

b) Dime, operando y obteniendo el resultado en notación científica, cuántos píxeles estima el autor del artículo que tendrá una cámara digital normal.

c) Suponiendo que es cierto lo que has obtenido en b) y suponiendo que una fotografía digital es un rectángulo de píxeles de modo que ancho /alto = 4/3 , cuántos píxeles tendrá de ancho y cuántos de alto una foto de esa supuesta cámara digital normal.

d) Imagina ahora que imprimimos la foto de nuestra cámara digital normal en una impresora que es capaz de “meter” 300 píxeles por pulgada (tanto a lo ancho como a lo alto). ¿Qué tamaño tendrá nuestra fotografía si la imprimimos?

e) En las mismas condiciones de d), ¿qué tamaño tendrá la imagen de la “Primavera” de Boticelli con la nueva técnica?

f) ¿Es coherente el resultado que has obtenido en f ) con la idea inicial del artículo que habla de “3000 veces más”?¿Por qué?

Aquí tienes el enunciado en un fichero pdf: sobre píxeles y números grandes

El número áureo

2010-09-29T09:31:00.000-07:00

Ejercicio:
En el siguiente enlace ( número de oro ), o pinchando sobre la imagen, tienes un ejercicio muy interesante para practica operatoria con radicales y aprender algo sobre el número de oro.